時間積分のLaplace変換について丁寧に
はじめに
授業でLaplace変換を扱いました．しかし，私は授業中に出てきた時間積分のLaplace変換について，どうも先生の極限の議論が雑だなーと感じました． 備忘録として，ちょっと丁寧な時間積分のLaplace変換の極限の議論についてメモを残しておきます．
Laplace変換の定義
\(t\ge 0\) で定義された \(f(x)\) に対して，\(\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt\) が収束するとき，その値\(F(s)\)を\(f(t)\)のLaplace変換という．（sは複素数）
\[F(s) = \mathscr{L}[f(t)] = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt\]ここで\(s = \sigma + j\omega\) とします．（\(\sigma, \omega\) は実数）
時間積分のLaplace変換について考えていく
今からは以下のLaplace変換を考えていく．
\[\mathscr{L}\left[\int_0^t f(u)du\right]\]定義に従って計算していこう．
$$
\begin{align*}
&\mathscr{L}\left[\int_0^t f(u)du\right] \\
&= \int_0^{\infty} e^{-st}\int_0^t f(u)dudt \\
&= \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\int_0^{t}f(u)du \right]_0^{\infty} + \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt \tag{1}\label{eq:laplace}
\end{align*}
$$
式\eqref{eq:laplace}の右辺の第一項目の
\[e^{-st} \int_0^t f(u)du \quad (t \to \infty)\]について見ていきます．（先生はこれが0なのを自明として扱っていたけど，私はそこまで頭がよくない！）
Laplace変換の存在定理より，正の定数\(M\)が存在して \(\sigma > \sigma_0\) において
\[|f(t)| \le Me^{\sigma_0 t}\]が成り立ちます．（\(t\)は任意の非負実数）
ここで以下のように \(g(t)\) を定めます．
\[g(t) = \int_0^t f(u) du\]
$$
|g(t)| = \left|\int_0^t f(u) du \right| \le \int_0^t |f(u)| du \le \int_0^t Me^{\sigma_0 u} du = \frac{M}{\sigma_0} (e^{\sigma_0 t}-1)
$$
よって正の数\(C\)を用いて，
$$
|g(t)| \le \frac{M}{\sigma_0} (e^{\sigma_0 t} - 1) \le \frac{M}{\sigma_0}e^{\sigma_0 t} = Ce^{\sigma_0 t} \tag{2}\label{eq:laplace2}
$$
$$
\begin{align*}
|e^{-st}| &= |e^{-(\sigma+j\omega)t}| \\
&= |e^{-\sigma t}||e^{-j\omega t}| \\
&= |e^{-\sigma t}| \qquad (\because \text{オイラーの公式}) \\
&= e^{-\sigma t} \tag{3}\label{eq:laplace3}
\end{align*}
$$
式\eqref{eq:laplace2}式\eqref{eq:laplace3}より，
$$
|g(t)e^{-st}| \le Ce^{\sigma_0 t}e^{-\sigma t} = Ce^{-(\sigma - \sigma_0)t}
$$
ここで
$$
\lim_{t \to \infty} Ce^{-(\sigma - \sigma_0)t} = 0
$$
である．\(\because \sigma-\sigma_0 > 0\)
したがって
$$
\lim_{t \to \infty} |g(t)e^{-st}| = 0
$$
$$
\lim_{t \to \infty} e^{-st}\int_0^t f(u)du = 0
$$
となります！！
したがって式\eqref{eq:laplace}の右辺の第一項目は
$$
\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\int_0^{t}f(u)du \right]_0^{\infty} = 0-0 = 0
$$
となるので，
$$
\begin{align*}
\mathscr{L}\left[\int_0^t f(u)du\right] &= \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt \\
&= \frac{F(s)}{s}
\end{align*}
$$
時間積分のLaplace変換の結果
結局授業で教わったものと一致しました！
余談ですが，微分方程式でLaplace変換ができるときに，機械的に解くことができるなんて幸せですね． 複素の世界はすばらしいなぁ