はじめに

3次元上で剛体を回転させたいとき，ありますよね．

質点のときは3自由度でしたが，そこに回転が加わると6自由度になります．

これは，剛体を3個の質点で表した自由度の9から，3点の距離がどれも一定という3つの束縛条件をひいてあげると， 6自由度であることがわかります．


オイラーの角とは？

オイラーの角とは，剛体の向きを表すための3つの角度の組み合わせです．

3次元空間における剛体の姿勢は，3回の回転によって完全に定まるため，オイラーの角はこの3つの回転を順に指定することで，任意の方法を記述できます．

オイラーの角にはいくつかの定義方法がありますが，今回はZYZの順に回転させていきます．

具体体的には，

  1. Z軸まわりに \(\phi\) 回転
  2. Y \(^{\prime}\) 軸まわりに \(\theta\) 回転
  3. Z \(^{\prime \prime}\) 軸まわりに \(\psi\) 回転

これにより，任意の姿勢を表すことが可能になります．


傾ける動作をひとつずつ追っていく

やる気があったら載せます…


四元数について

オイラーの角は直感的にはわかりやすいものの，数値的には以下のような問題があります

  • ジンバルロックの発生：2軸が一致して自由度が失われる現象
  • 連続的な変化の追跡が難しい：連続回転に対して角度の補完が上手くいかない

これらの問題を解決するために使われるのが 四元数（quaternion） です！

四元数は実数 \(w, x, y, z\) を用いて，

\[\begin{equation} q = w + xi + yj + zk \end{equation}\]

という形で表されます．コンピュータグラフィックスや航空機，ロボットの姿勢制御などでは，オイラー角ではなく四元数が使われています．


四元数を用いて \(\xi, \eta, \zeta\) 軸方向の角速度の導出

やる気があったら計算がんばって載せます…