二次元の支配方程式の導出
二次元の支配方程式を導出する
授業で使っている「材料力学」コロナ社の演習問題[3.4]の答えが略となっていたため，その解答を示していく．
一般化されたフックの法則
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\varepsilon_x &= \frac{1}{E}\{\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z) \} \\
\varepsilon_y &= \frac{1}{E}\{\sigma_y - \nu(\sigma_z+\sigma_x) \} \\
\varepsilon_z &= \frac{1}{E}\{\sigma_z - \nu(\sigma_x+\sigma_y) \} \\
\gamma_{xy} &= 2\varepsilon_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{G} \\
\gamma_{yz} &= 2\varepsilon_{yz} = \frac{\sigma_{yz}}{G} \\
\gamma_{zx} &= 2\varepsilon_{zx} = \frac{\sigma_{zx}}{G} \\
\end{cases}
\end{equation}
\label{a}\tag{1}
$$
今回は，平面応力状態を考えているので式(\ref{a})に\(\sigma_z=0, \sigma_{zx}=0, \sigma_{zy}=0\)を代入する
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\varepsilon_x &= \frac{1}{E}\sigma_x - \frac{\nu}{E}\sigma_y\\
\varepsilon_y &= \frac{1}{E}\sigma_y - \frac{\nu}{E}\sigma_x\\
\end{cases}
\end{equation}
\label{b}\tag{2}
$$
横弾性定数\(G=\frac{E}{2(1+\nu)}\)を代入して
$$
\begin{equation}
\gamma_{xy} = \frac{2(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}
\end{equation}
\label{c}\tag{3}
$$
となる．ここで，演習問題[3.3]で得られたひずみの適合条件式に式(\ref{b}), 式(\ref{c})を代入する．
$$
\begin{equation}
\frac{1}{E}\left(\frac{\partial^2 \sigma_x}{\partial y^2} - \nu\frac{\partial^2 \sigma_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \sigma_y}{\partial x^2} - \nu\frac{\partial^2 \sigma_x}{\partial x^2} \right) = \frac{2(1+\nu)}{E}\frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y}
\end{equation}
\label{d}\tag{4}
$$
ここで平衡方程式
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + X &= 0 \\
\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y} + Y &= 0
\end{cases}
\end{equation}
\label{e}\tag{5}
$$
を用いて式(\ref{d})を変形していく．
式(\ref{e})の第一式を\(x\)で偏微分，第二式を\(y\)で偏微分して
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial^2 \sigma_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial X}{\partial x} &= 0 \\
\frac{\partial^2 \sigma_{yx}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 \sigma_{y}}{\partial y^2} + \frac{\partial Y}{\partial y} &= 0
\end{cases}
\end{equation}
\label{f}\tag{6}
$$
式(\ref{f})の辺々を足し合わせて，
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \sigma_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \sigma_{y}}{\partial y^2} + 2\frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0
\end{equation}
$$
移項して
$$
\begin{equation}
2\frac{\partial^2 \sigma_{xy}}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial^2 \sigma_x}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 \sigma_{y}}{\partial y^2} - \frac{\partial X}{\partial x} - \frac{\partial Y}{\partial y}
\end{equation}
\label{g}\tag{7}
$$
式(\ref{d})の右辺へ式(\ref{g})を代入して
$$
\begin{equation}
\frac{1}{E}\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\sigma_x - \nu\frac{\partial^2}{\partial y^2}\sigma_y + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\sigma_y - \nu\frac{\partial^2}{\partial x^2}\sigma_x \right) = \frac{1+\nu}{E}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\sigma_x - \frac{\partial^2}{\partial y^2}\sigma_{y} - \frac{\partial X}{\partial x} - \frac{\partial Y}{\partial y} \right)
\end{equation}
$$
整理する
$$
\begin{equation}
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)(\sigma_x + \sigma_y) = -(1+\nu)\left(\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right)
\end{equation}
\label{h}\tag{8}
$$
今回は，物体力$$X = Y = 0$$だから式(\ref{h})の右辺は0である．
$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$$とすると
$$
\begin{equation}
\nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = 0
\end{equation}
$$
と導ける．