ラグランジュ関数がtを陽に含むときE.O.M.はどうなるの？
ラグランジュ関数がtを陽に含むときにラグランジュの方程式が成り立つことを示す．
ラグランジュ関数がtを陽に含まない，なおかつ保存力のみがはたらくときラグランジュの方程式は
\[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\]である．tを陽に含まないときの導出をもとにしていくので，違うところを変えていく．
\[x_i = x_i(q_1, q_2, \cdots, q_n, t)\]両辺を時間微分して
\[\begin{align} \dot{x_i} &= \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q_j} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \cdot \dot{t} \\ &= \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q_j} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \end{align}\]\(\dot{q_j}\)で両辺偏微分する
\[\frac{\partial \dot{x_i}}{\partial \dot{q_j}} = \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\]したがって一般化座標の運動量を\(p_i\)として
\[p_i = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{x_i}} \frac{\partial \dot{x_i}}{\partial \dot{q_i}} = \sum_{j=1}^{n} m_j \dot{x_j} \frac{\partial x_j}{\partial q_i}\]ここで，私の機械力学の板書ノートp.6の付箋の箇所は以下のように変わる．（時間があればサイトに掲載します）
\[\begin{align} \frac{\partial \dot{x_j}}{\partial q_i} &= \frac{\partial}{\partial q_i}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial x_j}{\partial q_k}\dot{q_k} + \frac{\partial x_j}{\partial t} \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{\partial x_j}{\partial q_j} \right)\dot{q_k} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_j}{\partial q_j} \right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial x_j}{\partial q_j} \right) \end{align}\]なぜならば，\(\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_j}{\partial q_j} \right)=0\)
このようにして，ラグランジュ関数がtを陽に含むときにも同じようにラグランジュの運動方程式を使える！